न्यूटन पद्धति

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न्यूटन पद्धति (The Newton's method) प्रारंभिक अनुमान $\displaystyle x_{0}$ से शुरू होने वाले फ़ंक्शन $\displaystyle f$ के रूट $\displaystyle \alpha$ को खोजने के लिए एक क्रम $\displaystyle x_{k}$ बनाता हैं। हम $\displaystyle x_{0}$ पर $\displaystyle f$ के स्पर्शरेखा का निर्माण करते हैं। और हम स्पर्शरेखा की रूट की गणना करके $\alpha$ का एक अनुमान का पता लगाते हैं। इस पुनरावृत्ति प्रक्रिया को दोहराते हुए हमे अनुक्रम $\displaystyle x_{k}$ प्राप्त होती हैं

न्यूटन पद्धति का व्युत्पन्न

एक दूसरे ऑर्डर टेलर विस्तार के साथ $\displaystyle f(x)$ अनुमानित $\displaystyle x_{k}$ है।

$f(x)=f(x_{k})+f'(x_{k})(x-x_{k})+{\frac {f''(\eta _{k})}{2}}(x-x_{k})^{2},$

$\displaystyle x$ और $\displaystyle x_{k}$ के बीच में $\displaystyle \eta _{k}$ के साथ. $x=\alpha$ को लागू करना और उस $f(\alpha )=0$ को स्मरण करना जिसे हम थोड़ा पुनर्व्यवस्थित करते हैं

$\alpha =x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}-{\frac {(\alpha -x_{k})^{2}}{2}}{\frac {f''(\eta _{k})}{f'(x_{k})}}.$

अंतिम टर्म को छोड़ने पर, हम $\displaystyle \alpha$ का अनुमान प्राप्त कर लेते हैं जिसे हम $\displaystyle x_{k+1}$ कहते है। $\displaystyle \alpha$:

न्यूटन पद्धति :

$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}.$